Varianza Media Móvil

Exploración de la media ponderada ponderada exponencial La volatilidad es la medida más común del riesgo, pero viene en varios sabores. En un artículo anterior, mostramos cómo calcular la volatilidad histórica simple. Utilizamos la volatilidad para medir el riesgo futuro. Utilizamos los datos reales de los precios de las acciones de Google para calcular la volatilidad diaria basada en 30 días de datos de existencias. En este artículo, mejoraremos la volatilidad simple y discutiremos el promedio móvil exponencialmente ponderado (EWMA). Vs histórico. Volatilidad implícita En primer lugar, permite poner esta métrica en un poco de perspectiva. Existen dos enfoques generales: volatilidad histórica e implícita (o implícita). El enfoque histórico supone que el pasado es un prólogo que medimos la historia con la esperanza de que sea predictivo. La volatilidad implícita, por el contrario, ignora la historia que resuelve por la volatilidad implícita en los precios de mercado. Espera que el mercado conozca mejor y que el precio de mercado contenga, aunque implícitamente, una estimación consensual de la volatilidad. Si nos centramos sólo en los tres enfoques históricos (a la izquierda de arriba), tienen dos pasos en común: Calcular la serie de retornos periódicos Aplicar un esquema de ponderación En primer lugar, Calcular el retorno periódico. Ésa es típicamente una serie de vueltas diarias donde cada vuelta se expresa en términos continuamente compuestos. Para cada día, tomamos el registro natural de la relación de precios de las acciones (es decir, el precio hoy dividido por el precio ayer, y así sucesivamente). Esto produce una serie de retornos diarios, de u i a u i-m. Dependiendo de cuántos días (m días) estamos midiendo. Eso nos lleva al segundo paso: aquí es donde los tres enfoques difieren. En el artículo anterior (Usando Volatilidad Para Calcular el Riesgo Futuro), mostramos que bajo un par de simplificaciones aceptables, la varianza simple es el promedio de los retornos cuadrados: Obsérvese que esto suma cada uno de los retornos periódicos, luego divide ese total por el Número de días u observaciones (m). Por lo tanto, su realmente sólo un promedio de los retornos cuadrados periódico. Dicho de otra manera, cada cuadrado de retorno se da un peso igual. Por lo tanto, si alfa (a) es un factor de ponderación (específicamente, 1 / m), entonces una variante simple se parece a esto: El EWMA mejora en la varianza simple La debilidad de este enfoque es que todas las ganancias ganan el mismo peso. El retorno de ayer (muy reciente) no tiene más influencia sobre la varianza que el retorno de los últimos meses. Este problema se fija mediante la media móvil ponderada exponencialmente (EWMA), en la cual los rendimientos más recientes tienen mayor peso sobre la varianza. La media móvil exponencialmente ponderada (EWMA) introduce lambda. Que se denomina parámetro de suavizado. Lambda debe ser menos de uno. Bajo esta condición, en lugar de iguales ponderaciones, cada cuadrado de retorno es ponderado por un multiplicador de la siguiente manera: Por ejemplo, RiskMetrics TM, una empresa de gestión de riesgos financieros, tiende a utilizar un lambda de 0,94 o 94. En este caso, el primero Más reciente) cuadrado es ponderado por (1-0.94) (. 94) 0 6. El próximo cuadrado de retorno es simplemente un lambda-múltiplo del peso anterior en este caso 6 multiplicado por 94 5.64. Y el tercer día anterior el peso es igual (1-0.94) (0.94) 2 5.30. Ese es el significado de exponencial en EWMA: cada peso es un multiplicador constante (es decir, lambda, que debe ser menor que uno) del peso de los días anteriores. Esto asegura una varianza que está ponderada o sesgada hacia datos más recientes. (Para obtener más información, consulte la hoja de cálculo de Excel para la volatilidad de Google.) A continuación se muestra la diferencia entre la volatilidad y EWMA para Google. La volatilidad simple pesa efectivamente cada vuelta periódica en 0.196 como se muestra en la columna O (teníamos dos años de datos de precios de acciones diarios, es decir, 509 devoluciones diarias y 1/509 0.196). Pero note que la Columna P asigna un peso de 6, luego 5.64, luego 5.3 y así sucesivamente. Esa es la única diferencia entre la varianza simple y EWMA. Recuerde: Después de sumar la serie completa (en la columna Q) tenemos la varianza, que es el cuadrado de la desviación estándar. Si queremos volatilidad, necesitamos recordar tomar la raíz cuadrada de esa varianza. ¿Cuál es la diferencia en la volatilidad diaria entre la varianza y EWMA en el caso de Googles? Su significativo: La variación simple nos dio una volatilidad diaria de 2,4 pero la EWMA dio una volatilidad diaria de sólo 1,4 (ver la hoja de cálculo para más detalles). Aparentemente, la volatilidad de Googles se estableció más recientemente, por lo tanto, una simple varianza podría ser artificialmente alta. La variación de hoy es una función de la variación de los días de Pior Usted notará que necesitábamos calcular una larga serie de pesos exponencialmente decrecientes. No haremos la matemática aquí, pero una de las mejores características de la EWMA es que toda la serie se reduce convenientemente a una fórmula recursiva: Recursiva significa que las referencias de la varianza de hoy (es decir, es una función de la variación de días anteriores). Esta fórmula también se encuentra en la hoja de cálculo, y produce exactamente el mismo resultado que el cálculo de longitud larga. Se dice: La varianza de hoy (bajo EWMA) equivale a la varianza de ayer (ponderada por lambda) más la vuelta al cuadrado de ayer (pesada por uno menos lambda). Observe cómo estamos agregando dos términos juntos: la variación ponderada de ayer y la ponderada ponderada de ayer, la vuelta al cuadrado. Aun así, lambda es nuestro parámetro de suavizado. Un lambda más alto (por ejemplo, como RiskMetrics 94) indica una disminución más lenta en la serie - en términos relativos, vamos a tener más puntos de datos en la serie y van a caer más lentamente. Por otro lado, si reducimos el lambda, indicamos una mayor decaimiento: los pesos se caen más rápidamente y, como resultado directo de la rápida decaimiento, se utilizan menos puntos de datos. (En la hoja de cálculo, lambda es una entrada, para que pueda experimentar con su sensibilidad). Resumen La volatilidad es la desviación estándar instantánea de un stock y la métrica de riesgo más común. Es también la raíz cuadrada de la varianza. Podemos medir la varianza históricamente o implícitamente (volatilidad implícita). Al medir históricamente, el método más fácil es la varianza simple. Pero la debilidad con la varianza simple es que todas las ganancias obtienen el mismo peso. Así que enfrentamos un trade-off clásico: siempre queremos más datos, pero cuanto más datos tengamos, más nuestro cálculo se diluye por datos distantes (menos relevantes). La media móvil exponencialmente ponderada (EWMA) mejora la varianza simple asignando pesos a los retornos periódicos. Haciendo esto, ambos podemos usar un tamaño grande de la muestra pero también dar mayor peso a vueltas más recientes. (Para ver una película tutorial sobre este tema, visite la Tortuga Biónica.) Portafolio VaR Varianza Covariance enfoque utilizando la técnica Short Cut PROOF Varianza CoVariance VaR enfoque de acceso directo VaR de cartera es una medida muy importante para evaluar el riesgo de mercado inherente a toda la cartera de una entidad. Es una medida cuyo cálculo suele estar relacionado con la quema de corazón porque el gestor de riesgos contempla la construcción muy intensiva en mano de obra de la matriz de covarianza de la varianza. En nuestros cursos de Valor en Riesgo, Calcular el Valor en Riesgo y el VaR de Cartera. Proponemos un remedio que debe proporcionar al usuario un cierto nivel de comodidad - un enfoque de atajo, introducido por Columbia University Business Schools profesor Mark Broadie. A la matriz usando una serie promedio ponderada de rentabilidades de la cartera. Sin embargo, es la naturaleza humana para cuestionar una receta de los médicos para buscar una segunda opinión, y hemos tenido un número de personas nos piden una prueba de si nuestro atajo más eficiente, práctica y conveniente versión de cálculo de la cartera VaR realmente da la cartera VaR Derivada usando la matriz de Covarianza de Varianza tradicional. La variación (aXbY) a 2 Varianza (X) b 2 Varianza (Y) 2abCovariance (X, Y) La raíz cuadrada de la varianza es Desviación estándar que, como usted sabe, en la terminología de Valor en Riesgo es la volatilidad, el edificio de la Covarianza de Varianza de Variación Móvil Simples (SMA VCV) Método de cálculo de la métrica. La metodología tradicional de la Variance Covariance Approach emplea la construcción de la infame matriz de covarianza de varianza que en términos de ecuación estadística se denotan por el lado derecho (RHS) de la ecuación anterior - un conglomerado de pesos cuadrados, variaciones de retorno de activos individuales y covarianzas entre pares de Variables. Nuestro enfoque de enfoque corto se centra a menudo en el lado izquierdo (LHS) de la ecuación, es decir, la varianza de la suma promedio ponderada de las variables. Si la Suma Promedio Ponderada de las Variables, aXbY Z entonces todo lo que necesitamos es la Varianza de Z. En términos del cálculo del valor en riesgo las variables son la serie diaria de retorno para cada activo en la cartera la suma promedio ponderada de las variables, es decir, Z , Es la suma media ponderada de la serie de retorno diario Z es, por tanto, la serie de rendimiento de la cartera. Por lo tanto, calculando la Varianza de Z, la serie de retorno diario ponderado, cuadrando el resultado y aplicando el factor multiplicador apropiado que representa el nivel de confianza y el período de tenencia llegamos al resultado de VaR de covarianza de varianza media móvil simple. Bajo y he aquí la prueba de nuestro enfoque de corte es verdaderamente igual al VaR VCV de SMA usando la metodología de covarianza de varianza tradicional. Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que si se aplican las funciones EXCEL de VAR () y COVAR () para calcular las varianzas y la covarianza, respectivamente, habrá una ligera diferencia en los resultados obtenidos de los métodos tradicionales y eficientes. El error está en el enfoque tradicional, ya que existe una inconsistencia entre las fórmulas de Variance y Covariance que subyacen a las funciones EXCEL. La fórmula COVAR () en EXCEL utiliza un tamaño de muestra de n en el divisor, mientras que VAR () emplea un tamaño de muestra de n-1. Un ajuste simple puede hacerse a COVAR () antes de su uso en el RHS de la ecuación anterior para eliminar esta discrepancia, específicamente: COVAR () COVAR () n / (n-1). Alternativamente, en lugar del RHS dado anteriormente podríamos usar lo siguiente: a 2 Varianza (X) b 2 Varianza (Y) 2abCorrelación (X, Y) Desviación Estándar (X) Desviación Estándar (Y) X, Y) / Desviación Estándar (X) Desviación Estándar (Y) En EXCEL la función CORREL () se da de la siguiente manera: Esto implica implícitamente la consistencia entre las fórmulas de varianza y covarianza. El uso de CORREL () en lugar de COVAR () elimina la discrepancia entre los resultados obtenidos utilizando el enfoque tradicional de SMA VCV Value-at-Risk y los resultados obtenidos mediante el método de acceso directo. Publicaciones relacionadas: DAX incluye algunas funciones de agregación estadística, como media, varianza y desviación estándar. Otros cálculos estadísticos típicos requieren que se escriban expresiones DAX más largas. Excel, desde este punto de vista, tiene un lenguaje mucho más rico. Los patrones estadísticos son una colección de cálculos estadísticos comunes: mediana, modo, media móvil, percentil y cuartil. Queremos agradecer a Colin Banfield, Gerard Brueckl y Javier Guilln, cuyos blogs inspiraron algunos de los siguientes patrones. Ejemplo de patrón básico Las fórmulas de este patrón son las soluciones para cálculos estadísticos específicos. Promedio Puede utilizar las funciones estándar de DAX para calcular la media (promedio aritmético) de un conjunto de valores. PROMEDIO . Devuelve el promedio de todos los números en una columna numérica. AVERAGEA. Devuelve el promedio de todos los números de una columna, manejando texto y valores no numéricos (los valores de texto no numéricos y vacíos se cuentan como 0). AVERAGEX. Calcular el promedio de una expresión evaluada sobre una tabla. Promedio móvil El promedio móvil es un cálculo para analizar puntos de datos mediante la creación de una serie de promedios de diferentes subconjuntos del conjunto de datos completo. Puede utilizar muchas técnicas DAX para implementar este cálculo. La técnica más sencilla consiste en utilizar AVERAGEX, iterar una tabla de la granularidad deseada y calcular para cada iteración la expresión que genera el punto de datos único para utilizar en el promedio. Por ejemplo, la fórmula siguiente calcula el promedio móvil de los últimos 7 días, suponiendo que está utilizando una tabla de fechas en su modelo de datos. Utilizando AVERAGEX, calcula automáticamente la medida en cada nivel de granularidad. Cuando se utiliza una medida que puede agregarse (como SUM), entonces otro enfoque basado en CALCULATE puede ser más rápido. Puede encontrar este enfoque alternativo en el patrón completo de Promedio móvil. Variación Puede utilizar funciones DAX estándar para calcular la varianza de un conjunto de valores. VAR. S. Devuelve la varianza de valores en una columna que representa una población de muestra. VAR. P. Devuelve la varianza de valores en una columna que representa a toda la población. VARX. S. Devuelve la varianza de una expresión evaluada sobre una tabla que representa una población de muestra. VARX. P. Devuelve la varianza de una expresión evaluada sobre una tabla que representa a toda la población. Desviación estándar Puede utilizar las funciones DAX estándar para calcular la desviación estándar de un conjunto de valores. STDEV. S. Devuelve la desviación estándar de los valores en una columna que representa una población de muestra. STDEV. P. Devuelve la desviación estándar de los valores en una columna que representa a toda la población. STDEV. S. Devuelve la desviación estándar de una expresión evaluada sobre una tabla que representa una población de muestra. STDEV. P. Devuelve la desviación estándar de una expresión evaluada sobre una tabla que representa a toda la población. Mediana La mediana es el valor numérico que separa la mitad superior de una población de la mitad inferior. Si hay un número impar de filas, la mediana es el valor medio (clasificando las filas del valor más bajo al valor más alto). Si hay un número par de filas, es el promedio de los dos valores medios. La fórmula ignora los valores en blanco, que no se consideran parte de la población. El resultado es idéntico a la función MEDIAN en Excel. La figura 1 muestra una comparación entre el resultado devuelto por Excel y la fórmula DAX correspondiente para el cálculo mediano. Figura 1 Ejemplo de cálculo mediano en Excel y DAX. Modo El modo es el valor que aparece más a menudo en un conjunto de datos. La fórmula ignora los valores en blanco, que no se consideran parte de la población. El resultado es idéntico a las funciones MODE y MODE. SNGL en Excel, que devuelven sólo el valor mínimo cuando hay múltiples modos en el conjunto de valores considerados. La función MODE. MULT de Excel devolverá todos los modos, pero no puede implementarlo como una medida en DAX. La figura 2 compara el resultado devuelto por Excel con la fórmula DAX correspondiente para el cálculo de modo. Figura 2 Ejemplo de cálculo de modo en Excel y DAX. Percentil El percentil es el valor por debajo del cual cae un determinado porcentaje de valores en un grupo. La fórmula ignora los valores en blanco, que no se consideran parte de la población. El cálculo en DAX requiere varios pasos, descritos en la sección Patrón completo, que muestra cómo obtener los mismos resultados de las funciones de Excel PERCENTIL, PERCENTILE. INC y PERCENTILE. EXC. Cuartil Los cuartiles son tres puntos que dividen un conjunto de valores en cuatro grupos iguales, cada grupo que comprende un cuarto de los datos. Puede calcular los cuartiles usando el patrón de Percentile, siguiendo estas correspondencias: Primer cuartil cuartil inferior 25 percentil Segundo cuartil mediano 50 percentil Tercer cuartil cuartil superior 75 percentil completo Patrón completo Algunos cálculos estadísticos tienen una descripción más larga del patrón completo, porque Puede que tenga diferentes implementaciones dependiendo de los modelos de datos y otros requisitos. Promedio móvil Normalmente, se evalúa el promedio móvil haciendo referencia al nivel de granularidad del día. La plantilla general de la siguiente fórmula tiene estos marcadores: ltnumberofdaysgt es el número de días para el promedio móvil. Ltdatecolumngt es la columna de fecha de la tabla de fechas si la tiene o la columna de fecha de la tabla que contiene valores si no hay una tabla de fechas separada. Ltmeasuregt es la medida a calcular como media móvil. El patrón más sencillo utiliza la función AVERAGEX en DAX, que considera automáticamente sólo los días para los que existe un valor. Como alternativa, puede utilizar la siguiente plantilla en modelos de datos sin una tabla de fechas y con una medida que puede agregarse (como SUM) durante todo el período considerado. La fórmula anterior considera un día sin datos correspondientes como una medida que tiene valor 0. Esto sólo puede ocurrir cuando tiene una tabla de fechas por separado, que puede contener días para los que no hay transacciones correspondientes. Puede fijar el denominador para el promedio utilizando sólo el número de días para los que hay transacciones utilizando el siguiente patrón, donde: ltfacttablegt es la tabla relacionada con la tabla de fechas y que contiene los valores calculados por la medida. Puede utilizar las funciones DATESBETWEEN o DATESINPERIOD en lugar de FILTER, pero éstas funcionan sólo en una tabla de fechas normal, mientras que puede aplicar el patrón descrito anteriormente también a tablas de fechas no regulares ya modelos que no tienen una tabla de fechas. Por ejemplo, considere los diferentes resultados producidos por las dos medidas siguientes. En la Figura 3, puede ver que no hay ventas el 11 de septiembre de 2005. Sin embargo, esta fecha se incluye en la tabla de fechas por lo tanto, hay 7 días (del 11 de septiembre al 17 de septiembre) que tienen sólo 6 días con datos. Figura 3 Ejemplo de un cálculo del promedio móvil considerando e ignorando las fechas sin ventas. La medida Moving Average 7 Days tiene un número menor entre el 11 de septiembre y el 17 de septiembre, porque considera el 11 de septiembre como un día con 0 ventas. Si desea ignorar días sin ventas, utilice la medida Promedio móvil 7 días sin cero. Este podría ser el enfoque correcto cuando tiene una tabla de fechas completa, pero desea ignorar los días sin transacciones. Utilizando la fórmula Moving Average 7 Days, el resultado es correcto porque AVERAGEX considera automáticamente sólo los valores no en blanco. Tenga en cuenta que puede mejorar el rendimiento de un promedio móvil al persistir el valor en una columna calculada de una tabla con la granularidad deseada, como la fecha o la fecha y el producto. Sin embargo, el enfoque de cálculo dinámico con una medida ofrece la posibilidad de utilizar un parámetro para el número de días de la media móvil (por ejemplo, reemplazar ltnumberofdaysgt con una medida que implementa el patrón de la tabla de parámetros). Mediana La mediana corresponde al percentil 50, que se puede calcular con el patrón Percentile. Sin embargo, el patrón Median le permite optimizar y simplificar el cálculo mediano con una sola medida, en lugar de las varias medidas requeridas por el patrón Percentile. Puede utilizar este enfoque cuando calcule la mediana de los valores incluidos en ltvaluecolumngt, como se muestra a continuación: Para mejorar el rendimiento, es posible que desee persistir el valor de una medida en una columna calculada, si desea obtener la mediana de los resultados de Una medida en el modelo de datos. Sin embargo, antes de realizar esta optimización, debe implementar el cálculo MedianX basado en la siguiente plantilla, utilizando estos marcadores: ltgranularitytablegt es la tabla que define la granularidad del cálculo. Por ejemplo, puede ser la tabla de fechas si desea calcular la mediana de una medida calculada en el nivel de día o puede ser VALUES (8216DateYearMonth) si desea calcular la mediana de una medida calculada al nivel de mes. Ltmeasuregt es la medida a calcular para cada fila de ltgranularitytablet para el cálculo mediano. Ltmeasuretablegt es la tabla que contiene los datos utilizados por ltmeasuregt. Por ejemplo, si el ltgranularitytablegt es una dimensión como 8216Date8217, entonces el ltmeasuretablegt será 8216Internet Sales8217 que contiene la columna Internet Sales Amount sumada por la medida Total Sales de Internet. Por ejemplo, puede escribir la mediana de ventas totales de Internet para todos los clientes en Adventure Works de la siguiente manera: Sugerencia El siguiente patrón: se utiliza para eliminar filas de ltgranularitytablegt que no tienen datos correspondientes en la selección actual. Es una manera más rápida que usar la siguiente expresión: Sin embargo, puede reemplazar toda la expresión CALCULATETABLE con sólo ltgranularitytablegt si desea considerar valores en blanco de ltmeasuregt como 0. El rendimiento de la fórmula MedianX depende del número de filas en la Tabla repetida y sobre la complejidad de la medida. Si el rendimiento es malo, puede persistir el resultado de ltmeasuregt en una columna calculada del lttablegt, pero esto eliminará la capacidad de aplicar filtros al cálculo mediano en el momento de la consulta. Percentile Excel tiene dos implementaciones diferentes de cálculo de percentil con tres funciones: PERCENTIL, PERCENTILE. INC y PERCENTILE. EXC. Todos ellos devuelven el percentil K de valores, donde K está en el rango de 0 a 1. La diferencia es que PERCENTIL y PERCENTILE. INC consideran K como un rango inclusivo, mientras que PERCENTILE. EXC considera el rango K 0 a 1 como exclusivo . Todas estas funciones y sus implementaciones DAX reciben un valor per centile como parámetro, que llamamos valor de percentil K. ltKgt está en el rango de 0 a 1. Las dos implementaciones DAX de percentil requieren algunas medidas que son similares, pero lo suficientemente diferentes como para requerir Dos diferentes conjuntos de fórmulas. Las medidas definidas en cada patrón son: KPerc. El valor percentil corresponde a ltKgt. PercPos. La posición del percentil en el conjunto ordenado de valores. ValueLow. El valor por debajo de la posición percentil. Valor Alto. El valor por encima de la posición percentil. Percentil El cálculo final del percentil. Necesita las medidas ValueLow y ValueHigh en caso de que el PercPos contenga una parte decimal, ya que entonces tiene que interpolar entre ValueLow y ValueHigh para devolver el valor percentil correcto. La figura 4 muestra un ejemplo de los cálculos realizados con fórmulas Excel y DAX, utilizando ambos algoritmos de percentil (inclusive y exclusivos). Figura 4 Cálculos de percentil usando fórmulas de Excel y el cálculo DAX equivalente. En las siguientes secciones, las fórmulas Percentile ejecutan el cálculo en valores almacenados en una columna de tabla, DataValue, mientras que las fórmulas PercentileX ejecutan el cálculo en valores devueltos por una medida calculada en una granularidad dada. Percentile Inclusive La implementación de Percentile Inclusive es la siguiente. Percentile Exclusive La implementación de Percentile Exclusive es la siguiente. PercentileX Inclusive La implementación de PercentileX Inclusive se basa en la siguiente plantilla, utilizando estos marcadores: ltgranularitytablegt es la tabla que define la granularidad del cálculo. Por ejemplo, podría ser la tabla de fechas si desea calcular el percentil de una medida en el nivel de día o puede ser VALUES (8216DateYearMonth) si desea calcular el percentil de una medida en el nivel de mes. Ltmeasuregt es la medida a calcular para cada fila de ltgranularitytablet para el cálculo del percentil. Ltmeasuretablegt es la tabla que contiene los datos utilizados por ltmeasuregt. Por ejemplo, si el ltgranularitytablegt es una dimensión tal como 8216Date, 8217 entonces el ltmeasuretablegt será 8216Sales8217 que contiene la columna de la cantidad sumada por la medida de la cantidad total. Por ejemplo, puede escribir PercentileXInc del importe total de ventas para todas las fechas de la tabla de fechas de la siguiente manera: PercentileX Exclusive La implementación de PercentileX Exclusive se basa en la siguiente plantilla, utilizando los mismos marcadores utilizados en PercentileX Inclusive: Puede escribir el PercentileXExc del monto total de ventas para todas las fechas en la tabla de fechas de la siguiente manera: Descargas Manténgame informado sobre los próximos patrones (boletín). Desmarque para descargar libremente el archivo. Publicado el 17 de marzo de 2014 por Otros patrones que te pueden gustar Patrones de tiempo Los patrones de tiempo DAX se utilizan para implementar cálculos relacionados con el tiempo sin depender de las funciones de inteligencia de tiempo DAX. Esto es útil siempre que tenga calendarios personalizados, como un calendario semanal ISO 8601 o cuando esté utilizando un análisis de hellip. Manipulación de diferentes granularidades El patrón de manipulación de diferentes granularidades es una técnica para mostrar y ocultar medidas dependiendo del nivel de granularidad de la Datos subyacentes. Por ejemplo, no desea mostrar una medida en el nivel de día si es hellip Dax Patterns es producido por SQLBI. Copyright copy Loader. Todos los derechos reservados. Microsoft Excel reg y todas las demás marcas comerciales y derechos de autor son propiedad de sus respectivos propietarios.